Comentários e soluções alternativas de algumas questões de vestibular

Eu estava vendo umas provas do vestibular da UERJ de 2018 e resolvi algumas questões e pensei em algumas soluções alternativas para algumas delas. Primeiro eu vou colocar a questão com a solução da banca e depois a solução alternativa que eu encontrei.

Primeiro eu fiz uns traços e pontos auxiliares no desenho, como mostra a figura abaixo:

Como CD e CE medem a metade da diagonal do quadrado, então CD=CE=BE=BD e  DE=BC=2 cm. 

Por essa mesma razão podemos ver que AG mede a metade do lado do quadrado, ou seja, 1 cm, então AF mede 2 cm. Podemos ver que CF = 4 cm e então a área do triângulo ACF é $\frac{4 \times 2}{2} = 4$ cm² e a área do triângulo ABF é $\frac{2 \times 2}{2} = 2$ cm². Logo, a área azul mede 4 - 2 = 2 cm². 

Como BF = AF então, pela Lei dos Senos, o ângulo ABF (o menor) mede 45° e o ângulo CBA mede 180° - 45° = 135°.

Uma outra forma de resolver é pelo Teorema das Áreas: a área é igual a $\frac{BC \times AB \times \sin{B}}{2} = 2 \times (\frac{2\sqrt{2}}{2} + 2\frac{\sqrt{2}}{2} ) \times \sin{135°} = 2 \times (\frac{2\sqrt{2}}{2} + 2\frac{\sqrt{2}}{2} ) \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2$ cm².

Outro problema:

Sejam A, B, C, D, A', B', C', D' as figuras.
A chance de perder na primeira rodada é $\frac{6 \times 4}{7 \times 4} = \frac{6}{7}$. A chance de acertar na primeira é $\frac{1+1+1+1}{4 \times 7} = \frac{1}{7}$.
A chance de perder o jogo na segunda rodada é $\frac{1}{7} \times \frac{4 \times 3}{5 \times 3}$.

O $\frac{1}{7}$ é a chance de acertar na primeira para prosseguir.

O outro fator é a chance de perder considerando-se isoladamente apenas a segunda rodada com, digamos, apenas os cartões A, B, C, A', B', C'.

A chance de acertar na segunda rodada, considerando-a isoladamente é $\frac{3}{3 \times 5} = \frac{1}{5}$.

Procedendo-se de modo semelhante, a chance de perder na terceira rodada é
$\frac{1}{7}\times\frac{1}{5} \times\frac{2 \times 2}{3 \times 2}$.

O $\frac{1}{7}\times \frac{1}{5}$ é a chance de acertar na primeira e segunda rodada para prosseguir. O outro fator é a chance de perder considerando isoladamente apenas a terceira rodada com, digamos, A, B, A', B'.

Se acertar na terceira rodada, então só resta uma possibilidade para a quarta rodada (por exemplo, A, A'). Então a chance de perder na quarta rodada é 0.

Logo, a probabilidade de perder é a soma das probabilidades de perder em cada etapa:

$\frac{6}{7} + \frac{1}{7} \times\frac{ 4\times 3}{5 \times 3} + \frac{1}{7} \times\frac{1}{5}$ $\times\frac{2 \times 2}{3 \times 2} + 0 = \frac{104}{105}$.