Área Máxima do Paralelogramo

No banco de problemas da OBMEP eu achei o seguinte problema:

No site há duas soluções, mas eu vou apresentar uma alternativa:

Seja $X$ o ângulo entre os lados $\overline{AC}$ e $\overline{BC}$.  Pelo Teorema das Áreas e considerando que $\displaystyle \widehat{ABC} = \widehat{MBN} =\widehat{PNC} =\widehat{AMP} = X$, a área do paralelogramo é:

$\displaystyle A = \frac{1}{2}\overline{AB}.\overline{BC} \sin{X} - \frac{1}{2}\overline{PN}.\overline{NC} \sin{X} - \frac{1}{2}\overline{AM}.\overline{MP} \sin{X}$ (Equação 1)

Pelas semelhanças dos triângulos, vem:

$\displaystyle \frac{\overline{PN}}{\overline{NC}} = \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} \Rightarrow \overline{PN}.\overline{NC} = \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} \overline{NC}^2$

$\displaystyle \frac{\overline{AM}}{\overline{MP}} = \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} \Rightarrow \overline{AM}.\overline{MP} = \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} \overline{MP}^2$

Mas $\overline{MP} = \overline{BN} = \overline{BC} - \overline{NC}$. 

Então $\displaystyle \overline{AM}.\overline{MP} = \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}(\overline{BC} - \overline{NC})^2$

Substituindo os valores de $\overline{PN}.\overline{NC}$ e $\overline{AM}.\overline{MP}$ na Equação 1 e com algumas transformações, esta se torna:

$\displaystyle A = \frac{1}{2}\sin{X}\left(\overline{AB}.\overline{BC} - \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}(2\overline{NC}^2 - 2\overline{NC}.\overline{BC}+\overline{BC}^2)\right)$

Como $\sin{X}$, $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$ são constantes e $\overline{NC}$ é a variável, basta igualar a 0 a derivada primeira dessa expressão para obter o valor máximo de $\overline{NC}$.

$\displaystyle \frac{1}{2}\sin{X}\left(-\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}(4\overline{NC} - 2\overline{BC})\right) = 0$ que resulta em $\displaystyle \overline{NC} = \frac{\overline{BC}}{2}$

Pela semelhança dos triângulos, vem:

$\displaystyle \frac{\overline{NC}}{\overline{BC}} = \frac{\overline{PC}}{\overline{AC}} \Rightarrow \frac{1}{2}= \frac{\overline{PC}}{\overline{AC}} \Rightarrow \overline{PC} = \frac{\overline{AC}}{2}$.

Resposta: O paralelogramo terá a sua área máxima quando o ponto P for o ponto médio do lado AC do triângulo.