A equação do terceiro grau

Conteúdo

• 1 Recapitulando
• 2 Alguns exemplos
  • 2.1 Exemplo 1
  • 2.2 Exemplo 2

1. Recapitulando

A equação geral de terceiro grau representada na ''forma normal'' como
$x^3 + ax^2 + bx + c = 0$.
Aplicando a substituição $x = z-\tfrac{a}3$ na forma normal, o termo quadrático é eliminado, resultando a ''forma reduzida'':
$z^3 +pz + q=0$
sendo
$p= b - \frac{a^2}3$ e $q= \frac {2a^3}{27} - \frac{ab}3 + c.$ A forma reduzida é então resolvida com auxílio da fórmula de Cardano e então, mediante substituição da variável auxiliar $x=z-\tfrac{a}3$ a solução da equação original é determinada.
Diferentemente da equação quadrática, no caso da equação cúbica é necessário considerar números complexos, especialmente quando as três raízes são reais.

As três raízes são obtidas pela substituição $z=u+v$: Então

$z^3 = \left(u+v\right)^3 =
u^3 + 3uv\left(u+v\right) + v^3 =
3uvz + u^3 + v^3$

e a comparação dos coeficientes fornece:

$-p = 3uv$ e $-q = u^3+v^3$.

Assim, chegamos a

$z=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$.

Relembrando,  $x=z-\frac{a}{3}$.

2. Alguns exemplos

2.1 Exemplo 1

Resolva a equação $x^3-9x^2+27x-27=0$
Temos que $a=-9$, $b=27$ e $c=-27$
Daí vem que $p=0$ e $q=0$. Logo a equação em $x$ fica como ${(x-3)}^3=0$.
Ou seja $3$ é a sua raiz tripla.

2.2 Exemplo 2

Calcule o valor de $\sqrt[3]{5-\sqrt{25+\frac{1}{27}}}+\sqrt[3]{5+\sqrt{25+\frac{1}{27}}}$.

Temos que $25=100/4$ e comparando essa expressão com a fórmula
$z=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$, podemos estabelecer que:

$-\frac{q}{2}=5 \Rightarrow q=-10$ e $\frac{p^3}{27} = \frac{1}{27} \Rightarrow p=1$.
Então o problema se reduz a resolver a equação $z^3 +pz + q=0$ que fica como
$z^3 +z -10=0$.

Sabemos que uma equação do terceiro grau tem 3 raízes, podendo ser: duas raízes complexas e uma real (pois se um número complexo da forma a +b$i$ for raiz da equação, então o seu complexo conjugado da forma a-b$i$ também será) ou as três raízes são reais.

Podemos usar a pesquisa de raízes racionais para descobrir uma dessas raízes para baixar o grau da equação. Se um número da forma $p/q$ for raiz da equação, então o termo independente é divisível por $p$ e o coeficiente do grau máximo da equação (no caso $x^3$) é divisível por $q$.

Se $-10$ é divisível por $p$ e $1$ é divisível por $q$, logo $q$ só pode ser $1$ e $p$ é um divisor de $-10$. Listando todas as possibilidades descobrimos que $2$ é uma das raízes da equação.
Vamos dividir a equação por $(z-2)$ para baixar o grau:
$\frac{z^3 +z -10}{z-2} = z^2+2z+5$. Usando a fórmula de Bhaskara, as outras duas raízes da equação são $-1+2i$ e $-1-2i$.
Então, como $2$ é a única solução real da equação, podemos concluir que $\sqrt[3]{5-\sqrt{25+\frac{1}{27}}}+\sqrt[3]{5+\sqrt{25+\frac{1}{27}}}=2$
Esse resultado é confirmado pela calculadora do Google: