Números complexos para buscar soluções inteiras
Na OPM 2016 caiu uma questão sobre esse assunto.
A questão com a solução da banca pode ser vista clicando aqui.
Vou mostrar a seguir como essa questão foi elaborada.
Primeiro note que $xz$, $yt$, $xt$, $yz$ são as quatro possibilidades das parcelas de um produto de uma soma envolvendo as variáveis $x$ e $y$ por outra envolvendo $z$ e $t$ usando a propriedade distributiva. Vou falar sobre os coeficientes depois.
Basicamente é isso:
$(x + y)(z + t) = xz + xt+ yz+ yt$
Vamos definir os coeficientes de cada uma dessas variáveis (em azul):
$(\color{blue}{c}x + \color{blue}{d}y )(\color{blue}{e}z +\color{blue}{f}t) = cexz + cfxt+ deyz+ dfyt$(Equação $(I)$)
Vamos tomar agora as equações do problema:
$xz - 2yt = 3 \\xt + yz = 1$
Lembrando que temos que determinar todas as soluções $\displaystyle \underset{x,y,z,t \in \mathbb{Z}}{(x, y, z, t)}$.
Vamos multiplicar a primeira equação por $a$ e a segunda por $b$ e depois somar as duas membro a membro:
$axz - 2ayt + bxt +byz = 3a +b$ (Equação $(II)$)
Compare agora o primeiro membro de $(II)$ com o segundo membro de $(I)$.
Obteremos o seguinte sistema:
$a = ce$ ($III$)
$b = cf$ ($IV$)
$b = de$ ($V$)
$df = -2a$ ($VI$)
Comparando $IV$ e $V$:
$cf = de \Rightarrow f = \displaystyle \frac{de}{c}$. Em vista de $VI$:
$\displaystyle \frac{ed^2}{c} = -2a$. Como $a = ce$:
$\displaystyle \frac{ed^2}{c} = -2ec \Rightarrow d=i{\sqrt{2}}c$, onde $i = \sqrt{-1}$
$\displaystyle f = \frac{de}{c} = \frac{i{\sqrt{2}}ce}{c} \Rightarrow f = i{\sqrt{2}}e$
Multiplicando-se $IV$ e $V$ membro a membro:
$b^2 = cdef = ce \times df = ce \times (-2ce) = (-2){(ce)^2}$. Lembrando que $a = ce$ (Equação $III$), vem:
$b = i{\sqrt{2}}a$. Então:
$b = ai{\sqrt{2}}$
$d = ci{\sqrt{2}}$
$f = ei{\sqrt{2}}$
$a = ce$
Podemos escolher arbitrariamente os valores de $a, c$ e $e$, desde que $a = ce$.
Depois calculamos os valores de $b, d$ e $f$.
Para simplificar ao máximo, podemos fazer $a = c = e = 1$ e assim teremos
$(x + i{\sqrt{2}y})(z + i{\sqrt{2}t}) = 3 + i{\sqrt{2}}$, que é a fatoração feita pela banca.
O módulo do número complexo é obtido multiplicando-se pelo complexo conjugado:
$(x + i{\sqrt{2}y}){\color{red}{(x - i{\sqrt{2}y})}}(z + i{\sqrt{2}t}){\color{red}{(z - i{\sqrt{2}t})}} = (3 + i{\sqrt{2}}){\color{red}{(3 - i{\sqrt{2}})}}$
Logo,
$(x^2 + 2y^2)(z^2 + 2t^2) = 11$. Aí temos um produto de variáveis igualado a uma constante que é um número primo e a solução a partir daqui é a que foi dada pela banca.
Assim as soluções são $(1, 0, 3, 1); (-1, 0, -3, -1); (3, 1, 1, 0)$ e $(-3, -1, -1, 0)$.
A questão com a solução da banca pode ser vista clicando aqui.
Vou mostrar a seguir como essa questão foi elaborada.
Primeiro note que $xz$, $yt$, $xt$, $yz$ são as quatro possibilidades das parcelas de um produto de uma soma envolvendo as variáveis $x$ e $y$ por outra envolvendo $z$ e $t$ usando a propriedade distributiva. Vou falar sobre os coeficientes depois.
Basicamente é isso:
$(x + y)(z + t) = xz + xt+ yz+ yt$
Vamos definir os coeficientes de cada uma dessas variáveis (em azul):
$(\color{blue}{c}x + \color{blue}{d}y )(\color{blue}{e}z +\color{blue}{f}t) = cexz + cfxt+ deyz+ dfyt$(Equação $(I)$)
Vamos tomar agora as equações do problema:
$xz - 2yt = 3 \\xt + yz = 1$
Lembrando que temos que determinar todas as soluções $\displaystyle \underset{x,y,z,t \in \mathbb{Z}}{(x, y, z, t)}$.
Vamos multiplicar a primeira equação por $a$ e a segunda por $b$ e depois somar as duas membro a membro:
$axz - 2ayt + bxt +byz = 3a +b$ (Equação $(II)$)
Compare agora o primeiro membro de $(II)$ com o segundo membro de $(I)$.
Obteremos o seguinte sistema:
$a = ce$ ($III$)
$b = cf$ ($IV$)
$b = de$ ($V$)
$df = -2a$ ($VI$)
Comparando $IV$ e $V$:
$cf = de \Rightarrow f = \displaystyle \frac{de}{c}$. Em vista de $VI$:
$\displaystyle \frac{ed^2}{c} = -2a$. Como $a = ce$:
$\displaystyle \frac{ed^2}{c} = -2ec \Rightarrow d=i{\sqrt{2}}c$, onde $i = \sqrt{-1}$
$\displaystyle f = \frac{de}{c} = \frac{i{\sqrt{2}}ce}{c} \Rightarrow f = i{\sqrt{2}}e$
Multiplicando-se $IV$ e $V$ membro a membro:
$b^2 = cdef = ce \times df = ce \times (-2ce) = (-2){(ce)^2}$. Lembrando que $a = ce$ (Equação $III$), vem:
$b = i{\sqrt{2}}a$. Então:
$b = ai{\sqrt{2}}$
$d = ci{\sqrt{2}}$
$f = ei{\sqrt{2}}$
$a = ce$
Podemos escolher arbitrariamente os valores de $a, c$ e $e$, desde que $a = ce$.
Depois calculamos os valores de $b, d$ e $f$.
Para simplificar ao máximo, podemos fazer $a = c = e = 1$ e assim teremos
$(x + i{\sqrt{2}y})(z + i{\sqrt{2}t}) = 3 + i{\sqrt{2}}$, que é a fatoração feita pela banca.
O módulo do número complexo é obtido multiplicando-se pelo complexo conjugado:
$(x + i{\sqrt{2}y}){\color{red}{(x - i{\sqrt{2}y})}}(z + i{\sqrt{2}t}){\color{red}{(z - i{\sqrt{2}t})}} = (3 + i{\sqrt{2}}){\color{red}{(3 - i{\sqrt{2}})}}$
Logo,
$(x^2 + 2y^2)(z^2 + 2t^2) = 11$. Aí temos um produto de variáveis igualado a uma constante que é um número primo e a solução a partir daqui é a que foi dada pela banca.
Assim as soluções são $(1, 0, 3, 1); (-1, 0, -3, -1); (3, 1, 1, 0)$ e $(-3, -1, -1, 0)$.
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