Potências de 2

Conteúdo

• 1 Definição
• 2 Propriedades
  • 2.1 Último algarismo
  • 2.2 Quantidade de algarismos
  • 2.3 Representações de inteiros como soma de potências de 2
  • 2.4 Distribuição dos números naturais

Definição

         Seja $a$ um número inteiro positivo. Serão apresentadas algumas propriedades interessantes de $2^{a}$.

Propriedades

Último algarismo

O último algarismo pertence ao conjunto $\{2, 4, 8, 6\}$. Observe:
$\{\color{blue}{2}, \color{blue}{4}, \color{blue}{8}, 1\color{blue}{6}, 3\color{blue}{2}, 6\color{blue}{4}, 12\color{blue}{8}, 25\color{blue}{6}, 51\color{blue}{2}, 102\color{blue}{4}, 204\color{blue}{8} \cdots \}$.

Exemplos:
1) Achar o último algarismo de $2^{2018}$.
Como $2018 \equiv 2 \pmod{4} \Rightarrow 2^{2018} \equiv 2^{2} \pmod{4}$. Logo, o último algarismo de $2^{2018}$ é $4$.

2) (OBM 2004) Dizemos que um número natural é composto quando pode ser escrito como o produto de dois números naturais maiores que 1. Assim, por exemplo $91$ é composto porque podemos escrever $91 = 7 \times 13$.
Mostre que o número $2^{\left(2^{2004}+2 \right)}+1$ é composto.

Temos que $2^{2004}+2 \equiv 2 \pmod{4}$. Logo $2^{2^{2004}+2} \equiv 2^2 \pmod{4}$.
Então o último algarismo de $2^{2^{2004}+2}$ é $4$. Com mais $1$ fica $5$, o que mostra que esse número é divisível por $5$ e, portanto, é composto.

Quantidade de algarismos

Para saber a quantidade de algarismos de uma potência de 2 (particularmente), sendo $b$ a base de numeração, basta calcular a parte inteira de $\log_b({2^{a}})+1 = a {\times}\log_{b}(2)+1$

Por exemplo:

Achar a quantidade de algarismos de $2^{8}$ no sistema decimal e no sistema binário (base 2).

No sistema decimal: $\log_{10}(2^{8}) = 8{\times}\log_{10}(2) = 8{\times}{0.301029996} = 2,4082$. Tomando a parte inteira $(2)$ e acrescentando 1, temos que essa quantidade de algarismos é igual a 3.

No sistema binário, do mesmo modo, $\log_{2}(2^{8}) = 8{\times}\log_{2}(2) = 8{\times}{1}$.

Então o número possui $8+1 = 9$ algarismos no sistema binário.

De fato:

${(256)}_{10}={(100000000)}_{2}$

Representações de inteiros como soma de potências de 2

As potências de $2^{0}=1$ até $2^{a}$ podem representar qualquer número inteiro de $1$ até $2^{a+1} - 1$.

Um pequeno exemplo, onde $a=2$. Estão representados todos os números entre $1$ e $7$.

Número	Representação
$1$	$2^0$
$2$	$2^1$
$3$	$2^1+2^0$
$4$	$2^2$
$5$	$2^2+2^0$
$6$	$2^2+2^1$
$7$	$2^2+2^1+2^0$

Distribuição dos números naturais

Sendo $k$ um número ímpar e $n$ um inteiro qualquer, qualquer número natural pode ser escrito na forma $2^{a}{\times}{k}$. 

Os expoentes de 2 dos números pares possuem um padrão lógico. Para os 50 primeiros números pares, você pode observar esse padrão aqui.
$a$ é o expoente de 2 na decomposição de $n$ em fatores primos.
Sendo $j$ um inteiro positivo e $j > a$ então, para quaisquer inteiros $p_0$ e $p_1$, é válido que $2^{a}{k} + 2^{j}{p_0} = 2^{a}{p_1}$
Perceba que $p_1 = 2^{a}(k+{p_0}2^{(j-a)})$.