Potências de 2
Conteúdo
Definição
Seja $a$ um número inteiro positivo. Serão apresentadas algumas propriedades interessantes de $2^{a}$.
Propriedades
Último algarismo
O último algarismo pertence ao conjunto $\{2, 4, 8, 6\}$. Observe:
$\{\color{blue}{2}, \color{blue}{4}, \color{blue}{8}, 1\color{blue}{6}, 3\color{blue}{2}, 6\color{blue}{4}, 12\color{blue}{8}, 25\color{blue}{6}, 51\color{blue}{2}, 102\color{blue}{4}, 204\color{blue}{8} \cdots \}$.
Exemplos:
1) Achar o último algarismo de $2^{2018}$.
Como $2018 \equiv 2 \pmod{4} \Rightarrow 2^{2018} \equiv 2^{2} \pmod{4}$. Logo, o último algarismo de $2^{2018}$ é $4$.
2) (OBM 2004) Dizemos que um número natural é composto quando pode ser escrito como o produto de dois números naturais maiores que 1. Assim, por exemplo $91$ é composto porque podemos escrever $91 = 7 \times 13$.
Mostre que o número $2^{\left(2^{2004}+2 \right)}+1$ é composto.
Temos que $2^{2004}+2 \equiv 2 \pmod{4}$. Logo $2^{2^{2004}+2} \equiv 2^2 \pmod{4}$.
Então o último algarismo de $2^{2^{2004}+2}$ é $4$. Com mais $1$ fica $5$, o que mostra que esse número é divisível por $5$ e, portanto, é composto.
$\{\color{blue}{2}, \color{blue}{4}, \color{blue}{8}, 1\color{blue}{6}, 3\color{blue}{2}, 6\color{blue}{4}, 12\color{blue}{8}, 25\color{blue}{6}, 51\color{blue}{2}, 102\color{blue}{4}, 204\color{blue}{8} \cdots \}$.
Exemplos:
1) Achar o último algarismo de $2^{2018}$.
Como $2018 \equiv 2 \pmod{4} \Rightarrow 2^{2018} \equiv 2^{2} \pmod{4}$. Logo, o último algarismo de $2^{2018}$ é $4$.
2) (OBM 2004) Dizemos que um número natural é composto quando pode ser escrito como o produto de dois números naturais maiores que 1. Assim, por exemplo $91$ é composto porque podemos escrever $91 = 7 \times 13$.
Mostre que o número $2^{\left(2^{2004}+2 \right)}+1$ é composto.
Temos que $2^{2004}+2 \equiv 2 \pmod{4}$. Logo $2^{2^{2004}+2} \equiv 2^2 \pmod{4}$.
Então o último algarismo de $2^{2^{2004}+2}$ é $4$. Com mais $1$ fica $5$, o que mostra que esse número é divisível por $5$ e, portanto, é composto.
Quantidade de algarismos
Para saber a quantidade de algarismos de uma potência de 2 (particularmente), sendo $b$ a base de numeração, basta calcular a parte inteira de $\log_b({2^{a}})+1 = a {\times}\log_{b}(2)+1$
Por exemplo:
Achar a quantidade de algarismos de $2^{8}$ no sistema decimal e no sistema binário (base 2).
No sistema decimal: $\log_{10}(2^{8}) = 8{\times}\log_{10}(2) = 8{\times}{0.301029996} = 2,4082$. Tomando a parte inteira $(2)$ e acrescentando 1, temos que essa quantidade de algarismos é igual a 3.
No sistema binário, do mesmo modo, $\log_{2}(2^{8}) = 8{\times}\log_{2}(2) = 8{\times}{1}$.
Então o número possui $8+1 = 9$ algarismos no sistema binário.
De fato:
${(256)}_{10}={(100000000)}_{2}$
Representações de inteiros como soma de potências de 2
As potências de $2^{0}=1$ até $2^{a}$ podem representar qualquer número inteiro de $1$ até $2^{a+1} - 1$.
Um pequeno exemplo, onde $a=2$. Estão representados todos os números entre $1$ e $7$.
| Número | Representação |
|---|---|
| $1$ | $2^0$ |
| $2$ | $2^1$ |
| $3$ | $2^1+2^0$ |
| $4$ | $2^2$ |
| $5$ | $2^2+2^0$ |
| $6$ | $2^2+2^1$ |
| $7$ | $2^2+2^1+2^0$ |
Distribuição dos números naturais
Sendo $k$ um número ímpar e $n$ um inteiro qualquer, qualquer número natural pode ser escrito na forma $2^{a}{\times}{k}$.
Os expoentes de 2 dos números pares possuem um padrão lógico. Para os 50 primeiros números pares, você pode observar esse padrão aqui.
$a$ é o expoente de 2 na decomposição de $n$ em fatores primos.
Sendo $j$ um inteiro positivo e $j > a$ então, para quaisquer inteiros $p_0$ e $p_1$, é válido que $2^{a}{k} + 2^{j}{p_0} = 2^{a}{p_1}$
Perceba que $p_1 = 2^{a}(k+{p_0}2^{(j-a)})$.
$a$ é o expoente de 2 na decomposição de $n$ em fatores primos.
Sendo $j$ um inteiro positivo e $j > a$ então, para quaisquer inteiros $p_0$ e $p_1$, é válido que $2^{a}{k} + 2^{j}{p_0} = 2^{a}{p_1}$
Perceba que $p_1 = 2^{a}(k+{p_0}2^{(j-a)})$.
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